RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES ==================================== INSTRUCCIONES ------------- 1) Ingrese la función. Ejemplo: x^2-2 2) Seleccione un método de resolución, los datos iniciales, el criterio de paro y precisión requerida. 3) Presione el botón "Resolver". La aplicación tratará de hallar la raíz de la ecuación y mostrará paso a paso la solución aplicada. Nota: en los métodos que requieran el ingreso de la función derivada ƒ'(x) y la misma no se haya ingresado, se aproximará su valor utilizando el cociente incremental. GENERALIDADES ------------- En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función. Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales. ACERCA DE LOS ALGORTIMOS ------------------------ El algoritmo más simple de búsqueda de raíces es el método de bisección. Requiere un intervalo inicial que contenga alguna raíz de la ecuación (de forma que la función tome en los extremos del mismo valores de distinto signo (teorema de Bolzano). Dicho intervalo inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se bisecta) tomándose el intervalo que contiene a la raíz. A pesar de ser un método que siempre converge a una solución, converge muy lentamente. El método de Newton Raphson asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. Asimismo, existen variantes del método de Newton Raphson para resolver ecuaciones donde la raíz tiene multiplicidad mayor a 1. Reemplazando la derivada del método de Newton Raphson por un cociente incremental, obtenemos el método de la secante. Este método no requiere el cálculo (ni la existencia) de la derivada, pero el precio que se debe pagar es un orden de convergencia más bajo (aproximadamente 1.6). El método de la regla falsa (o regula falsi) es un método que combina lo mejor del método de bisección y del método de la secante. El método corta el intervalo en dos partes como en el método de bisección, pero a diferencia de éste, lo corta por el valor obtenido aplicando el método de la secante a los extremos del intervalo, no siendo generalmente las partes iguales. El método converge siempre a una raíz de la ecuación, generalmente de forma más rápida que el método de bisección pero más lenta que el método de la secante. Finalmente, hay una familia de métodos conocidos como métodos de punto fijo. Estos métodos se basan en obtener a partir de la ecuación f(x) = 0 una ecuación equivalente de la forma g(x) = x cuya solución se convierta en un punto fijo de g e iterando a partir de un valor inicial hasta que se alcance. MÉTODO DE BISECCION ------------------- Debe cumplir el Teorema de Bolzano: 1. f(x) continua en [a,b] 2. f(a) * f(b) < 0 MÉTODO DE REGULA FALSI ---------------------- 1 f(x) continua en [a,b] 2. f(a) * f(b) < 0 3. f"(x) != 0 no debe tener puntos de inflexión en un entorno de la raiz 4. f'(x) < 0 debe ser creciente, de lo contrario tomar -f(x) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ------------------------ Condiciones para la aplicación del método de Newton-Raphson 1. f'(x) <> 0 en [a,b] 2. f"(x) <> 0 en [a,b] 3. Elegir Xo / f(Xo) * f"(Xo) > 0 Requiere f'(x) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON GENERALIZADO ------------------------------------- Condiciones para la aplicación del método de Newton-Raphson Generalizado 1. f'(x) <> 0 en [a,b] 2. f"(x) <> 0 en [a,b] 3. Elegir Xo / f(Xo) * f"(Xo) > 0 Requiere f'(x) y f"(x) Se recomienda este método cuando se desconoce la multiplicidad de la raíz MÉTODO DE VON MISSES -------------------- Condiciones para la aplicación del método de Von Misses 1. Elegir Xo / f(Xo) * f"(Xo) > 0 2. f'(Xo) <> 0 3. f"(Xo) <> 0 Requiere f'(x) MÉTODO DE LA SECANTE -------------------- Condiciones para la aplicación del método de la Secante 1. Elegir a, b próximos a la raiz MÉTODO DE PUNTO FIJO -------------------- Condiciones para la aplicación del método de Punto Fijo 1. f(x)=0 => x=g(x) función de punto fijo 2. ¦g'(x)¦<1 MÉTODO DE STEFFENSEN -------------------- Condiciones para la aplicación del método de Steffensen 1. f(x)=0 => x=g(x) función de punto fijo 2. ¦g'(x)¦<1 Tomar g(x) = x - f(x)/f'(x) --> fórmula de Newton Raphson BIBLIOTECA DE FUNCIONES ======================= ARITMÉTICAS ----------- suma : + resta : - multiplicación: * división : / exponenciación: ^ TRIGONOMÉTRICAS --------------- seno : sen(x) coseno : cos(x) tangente : tan(x) secante : sec(x) cosecante : csc(x) cotangente: cot(x) INVERSAS ---------- arco-seno : asen(x) arco-coseno : acos(x) arco-tangente : atan(x) arco-secante : asec(x) arco-cosecante : acsc(x) arco-cotangente: acot(x) HIPERBÓLICAS ------------ seno hiperbólico : senh(x) coseno hiperbólico : cosh(x) tangente hiperbólica : tanh(x) secante hiperbólica : sech(x) cosecante hiperbólica : csch(x) cotangente hiperbólica: coth(x) EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ---------------------------- logaritmo natural: ln(x) logaritmo base 10: log(x) exponencial : e^x | e^(2x) | e^(-x) VARIAS ---------- raiz cuadrada: raiz(x) | sqrt(x) raiz cúbica : raiz3(x) | cbrt(x) parte entera : int(x) módulo : mod(x) mantisa : mant(x) signo : sign(x) radianes : rad(x) grados : grad(x) CONSTANTES ---------- pi, ¶ = 3.14159265359 e = 2.71828182846 COMO ESCRIBIR RAICES CÚBICAS Y CUARTAS -------------------------------------- x^(1/3) | x^(1/4) GRAFICADOR DE FUNCIONES ======================= Rueda del mouse: acercar y alejar Rueda del mouse + shift: cambia la relación entre los ejes X e Y Teclas de dirección: mueven el gráfico Click del mouse: muestra u oculta coordenadas del puntero